Matemática discreta Ejemplos

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + 6

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6$

Paso 1

Adding

6

$6$ to a

2 \times 2

$2 \times 2$ square matrix is the same as adding

6

$6$ times the

2 \times 2

$2 \times 2$ identity matrix.

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + 6 [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica

6

$6$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica

6

$6$ por

1

$1$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 6 \cdot 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplica

6

$6$ por

0

$0$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica

6

$6$ por

0

$0$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica

6

$6$ por

1

$1$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

Paso 4

Suma los elementos correspondientes.

[\begin{matrix} 5 + 6 & 9 + 0 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 + 6 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5

Simplify each element.

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Paso 5.1

Suma

5

$5$ y

6

$6$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 + 0 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5.2

Suma

9

$9$ y

0

$0$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5.3

Suma

2

$2$ y

0

$0$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5.4

Suma

3

$3$ y

6

$6$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

Paso 6

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Paso 7

Find the determinant.

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Paso 7.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

11 \cdot 9 - 2 \cdot 9

$11 \cdot 9 - 2 \cdot 9$

Paso 7.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica

11

$11$ por

9

$9$ .

99 - 2 \cdot 9

$99 - 2 \cdot 9$

Paso 7.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

9

$9$ .

99 - 18

$99 - 18$

99 - 18

$99 - 18$

Paso 7.2.2

Resta

18

$18$ de

99

$99$ .

81

$81$

81

$81$

81

$81$

Paso 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{81} [\begin{matrix} 9 & - 9 - 2 & 11 \end{matrix}]

$\frac{1}{81} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 2 & 11 \end{array}]$

Paso 10

Multiplica

\frac{1}{81}

$\frac{1}{81}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 11.1

Cancela el factor común de

9

$9$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza

9

$9$ de

81

$81$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2

Cancela el factor común de

$9$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza

$9$ de

$81$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 (9)} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2.2

Factoriza

$9$ de

$- 9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \cdot - 1 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.3

Combina

$\frac{1}{9}$ y

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.5

Combina

$\frac{1}{81}$ y

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{- 2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.7

Combina

$\frac{1}{81}$ y

$11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{11}{81} \end{array}]$